E資格（エンジニア資格） 無料問題 1 / 10 ・ 分野1: 数学的基礎
表が出る確率 θ のコインを3回投げて、3回とも表だった。θ に一様な事前分布 Beta(1, 1) を置き、ベイズ推定（事後分布で θ を積分する）で4回目に表が出る確率を求めると、最も近い値はどれか。
- 0.75
- 0.50
- 1.00
- 0.80
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正解: D
正解の理由
ベイズ推定は θ の値を1つに決めず、事後分布 p(θ | データ) で θ を積分した予測分布を使う。事後分布は Beta(1+3, 1+0) = Beta(4, 1) で、その平均 4/(4+1) = 0.80 が4回目に表が出る確率になる。3回の観測だけでは裏が出る可能性を完全には捨てない、という慎重な値である。
違う選択肢
「1.00」… 最尤推定（3/3）と、一様な事前分布のもとでの MAP 推定が出す値である。θ を1点に決めるので、3回とも表だった事実に引きずられて裏の可能性が0になる。
「0.75」… 3/(3+1) = 0.75 の形で、事前の疑似的な観測を分母にだけ 1 足して、分子には足さなかった値である。Beta(1, 1) は表と裏を1回ずつ見たのと同じ効果を持つので、分子は 3+1、分母は 3+2 になる。
「0.50」… データを見ずに事前分布の平均 0.5 を答えたもので、3回の観測の情報が反映されていない。事後分布は観測のぶん表のほうへ寄る。
押さえどころ
点推定（最尤・MAP）は不確かさを捨てて1点に決め、ベイズ推定は不確かさを事後分布として残して予測に使う。データが少ないときに、極端な値を出さずに済むのが利点である。